当前位置: 首页 > >

第二章 (电路原理)电阻电路的等效变换

发布时间:

第二章 电阻电路的等效变换
2-1 引言 2-2 电路的等效变换 2-3 电阻的串联和并联 2-4 电阻的Y形和△形联结的等效变换 2-5 电压源、电流源的串联和并联 2-6 实际电源的两种模型及其等效变换 2-7 输入电阻

本章重点

作业

? 重点: 1.电路等效的概念; 2.电阻的串、并联; 3.电阻的Y—? 变换; 4.电压源和电流源的等效变换;

5.输入电阻的计算。

2-1 引言
?电阻电路 ?分析方法

仅由电源和线性电阻构成的电路。 ①欧姆定律和基尔霍夫定律是 分析电阻电路的依据; ②等效变换的方法,也称化简的 方法。

2-2 电路的等效变换

1.两端电路(网络)
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮,且 从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流, 则称这一电路为二端网络 (或一端口网络)。 i

i

无 源

无 源 一 端 口

2.两端电路等效的概念
两个两端电路,端口具有相同的电压、电流 关系,则称它们是等效的电路。

B

i

+ u -

等效

C

i

+ u -

对A电路中的电流、电压和功率而言,满足:

B

A

C

A

明确
①电路等效变换的条件: 两电路具有相同的VCR;

②电路等效变换的对象:
未变化的外电路A中的电压、电流和功率; (即对外等效,对内不等效) ③电路等效变换的目的: 化简电路,方便计算。

2-3 电阻的串联与并联

1.电阻串联
R1 ①电路特点 i + u1 + Rk Rn _ + u _ + un _ k u _

(a) 各电阻顺序连接,流过同一电流 (KCL); (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。

u ? u1 ? ? ? ? ? uk ? ? ? ?un

②等效电阻 R1 i Rk Rn 等效 i u Re q _ _

+ u1 _ + u k _ + un _
+ u 由欧姆定律

u ? R1i ? ? ? ? ? Rk i ? ? ? ? Rni ? ( R1 ? ? ? ? ? Rk ? ? ? ? Rn )i ? Reqi
Req ? R1 ? ? ? ? ? Rk ? ? ? ? Rn ? ? Rk ? Rk
k ?1 n

结论 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。

+

③串联电阻的分压

Rk u uk ? Rk i ? Rk ? u?u Req Req
表明 电压与电阻成正比,因此串联电阻电路
可作分压电路。
两个电阻的分压: i + u+ 1 u + u2 _ ? R1 R2

R1 R2 u1 ? u u2 ? u R1 ? R2 R1 ? R2

④功率

p1=R1i2, p2=R2i2,?, pn=Rni2 p1: p2 : ? : pn= R1 : R2 : ? :Rn p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ ?+Rni2

总功率

表明

=p1+ p2+?+ pn

①电阻串联时,各电阻消耗的功率与电阻大小 成正比; ②等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功 率的总和。

⑵ 电阻并联
①电路特点 i + i1 R2

i2 Rk

ik

in Rn

u _

R1

(a)各电阻两端为同一电压(KVL); (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in

②等效电阻 i i1 + i2 Rk u R1 R2 _ 由KCL:

i ik

in Rn

等效

+ u _ Req

i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq
Geq ? G1 ? ? ? ? ? Gk ? ? ? ?Gn ? ? Gk ? Gk
k ?1 n

结论 等效电导等于并联的各电导之和。
1 1 1 1 ? Geq ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,即Req ? Rk Req R1 Rk Rn
③并联电阻的分流

ik u Rk Gk ? ? i u Req Geq

Gk ik ? i Geq

两电阻的分流:

G1 i1 ? i? 1 Geq R2 ? i R1 ? R2

1 R1

R1 ? 1

i R2

i R1 i1 R2 i2

R1 i2 ? i R1 ? R2

④功率

p1=G1u2, p2=G2u2,?, pn=Gnu2

p1: p2 : ? : pn= G1 : G2 : ? :Gn
总功率

p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ ?+Gnu2 =p1+ p2+?+ pn
大小成反比;

表明 ①电阻并联时,各电阻消耗的功率与电阻
②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消 耗功率的总和

表明 ①电阻并联时,各电阻消耗的功率与电阻
大小成反比; ②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消 耗功率的总和。

3.电阻的串并联
电路中有电阻的串联,又有电阻的并联,这种 连接方式称电阻的串并联。

【例2-1】 求电阻网络的等效电阻Rab。
a





a
4Ω 4Ω 4Ω 4Ω



a
2Ω 4Ω






b

b



b



解:

Req ? 2?

【例2-2】计算图示电路中各支路的电压和电流。 i1 5 ? i2 i3 6 ? 165V 18? i5 4? i4 12? +

从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤: ①求出等效电阻或等效电导; ②应用欧姆定律求出总电压或总电流; ③应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电 流和电压。 以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系! 【例2-3】求: Rab c 对称电路 c、d等电位 R R R 断路 短路 i i a a i i2 b R 1 R R Rab ? R d c R b R d

2-4 电阻的Y形和△形联结的等效变换

1. 电阻的? 、Y形连接
包含
1

R1

R2 R b R4
三端 网络

a
1 R3

R12 2 R23
? 形网络

R31
3 R2 2

R1
R3 3 Y形网络

? ,Y 网络的变形:

? 型电路 (? 型)

T 型电路 (Y、星型)

注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关
系时,能够相互等效 。

2. ?—Y 变换的等效条件
i1? u12? + 1– + i1Y 1 – u31Y R3 i3Y + – 3

R12
R23 u23?

R31

u31?

i2 ?
– 2+

+ – i2Y 2 2 + – 3

i3 ?

u12Y R

R
1

u23Y

等效条件:

i1? =i1Y ,

i2 ? =i2Y ,

i3 ? =i3Y , u31? =u31Y

u12? =u12Y , u23? =u23Y ,

i1? u12? i2 ? – R12

+

1– u31? i3 ?

+ i1Y R31 u12Y R2 – i + 2Y 2 +

1


u31Y

R1

R3
u23Y

– 3 2+ ?接: 用电压表示电流

R23 u23?

i3Y + – 3

i1? =u12? /R12 – u31? /R31 i2? =u23? /R23 – u12? /R12 i3? =u31? /R31 – u23? /R23
(1)

Y接: 用电流表示电压 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0
(2)

由式(2)解得:
u12Y R3 ? u31Y R2 ? i1Y ? ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 ? i1? =u12? /R12 – u31? /R31 u 23Y R1 ? u12Y R3 ? i2Y ? ? ⑶ i2? =u23? /R23 – u12? /R12 (1) R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 ? i3? =u31? /R31 – u23? /R23 u31Y R2 ? u 23Y R1 ? i3Y ? ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 ?

根据等效条件,比较式(3)与式(1),得 Y??的变换条件:

类似可得到由??Y的变换条件:
? R12 R31 R1 ? ? R12 ? R23 ? R31 ? ? R23 R12 R2 ? ? R12 ? R23 ? R31 ? ? R31R23 R3 ? ? R12 ? R23 ? R31 ?

R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1 R2 ? R12 ? ? R1 ? R2 ? ? R3 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R2 R3 ? R23 ? ? R2 ? R3 ? ? R1 R1 ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R3 R1 ? R31 ? ? R3 ? R1 ? ? R2 R2 ?

简记方法: Y变? R? ? Δ相邻电阻乘积 ? R? Y两两电阻乘积之和 R ? Δ ?变Y

Y不相邻电阻

特例:若三个电阻相等(对称),则有

R?? = 3RY

R12 R1

R31
R3

外大内小

R2 R23

【例2-4】桥 T 电路 1k? 1k? 1k? 1k? R

1/3k?

1/3k? 1/3k? 1k? 1k?

+ E

R

-

+
E

-

+ E

3k?
R 3k? 3k?

-

2-5 电压源、电流源的串联和并联

1.理想电压源的串联和并联
①串联

注意参考方向
+ _

+ +

uS1

u ? us1 ? us 2 ? ? usk
_ u +

uS2

_ _ 等效电路

u
等效电路
i

②并联

u ? us1 ? us 2
+

注意 相同电压源才能并
联,电源中的电流不确定。

+ u S2 _

uS1

_

+ u _

③电压源与支路的串、并联等效

+ i +

uS1 _ R1

+ u

uS2 _ R2 _ i

+ i +

uS

_ R u i _

u ? us1 ? R1i ? us 2 ? R2i ? (us1 ? us 2 ) ? ( R1 ? R2 )i ? us ? Ri
+

+
任意 u R 元件 _ uS 对外等效!

+ _

uS

_

+ u _

2. 理想电流源的串联并联
①并联

注意参考方向

i ? is1 ? is1 ? ? ? isn ? ? i sk
i
iS2 iSn i 等效电路

iS1

②串联

i 注意 相同的理想电流源才能串联, 每个电 流源的端电压不能确定。

i ? is1 ? is1

iS1

i S2

3.电流源与支路的串、并联等效 i

iS1

R1

iS2

+ R2 u 等效电路 _

iS

R

i ? is1 ? u / R1 ? is 2 ? u / R2 ? (is1 ? is 2 ) ? (1 / R1 ? 1 / R2 )u ? is ? u / R

任意 元件 + iS u R _

iS 等效电路 对外等效!

2-6 实际电源的两种模型及其等效变换

1. 实际电压源
i
+ u +

伏安特性:
u

u ? uS ? RSi
us
i

uS

考虑内阻 0 一个好的电压源要求

_

RS

_

RS ? 0

注意 实际电压源也不允许短路。因其内阻小,
若短路,电流很大,可能烧毁电源。

2. 实际电流源

iS
RS

u 伏安特性: i ? iS ? RS
u is

i

u

考虑内阻

注意 实际电流源也不允许开路。因其内阻大,
若开路,电压很高,可能烧毁电源。

+ _

0
一个好的电流源要求

i

RS ? ?

3.电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效 变换,所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过 程中保持不变。 i+ + i uS 实际 实际 + _ iS u 电流 电压 GS u RS _ 源 源 _ 端口特性

iS=uS /RS GS=1/RS

i =iS – GSu i ? uS ? u ? uS ? uG s
RS RS RS 比较可得等效条件

u=uS – RS i

小结 电压源变换为电流源: i S
uS _ RS + i+ u _

i GS + u _

is ?

us
+

RS

, GS ? 1
i+ u _

RS

电流源变换为电压源: i + iS GS u _

uS _ RS

uS ?

iS

GS

, RS ? 1

GS

注意
①变换关系

数值关系 方向:电流源电流方向与电压源电压方向相反。 ②等效是对外部电路等效,对内部电路是不等效的。 ? 电压源开路, RS上无电流流过 表 现 在 电流源开路, GS上有电流流过。 ? 电压源短路, RS上有电流;

uS _ RS

+

i+
i u _

i iS
iS

GS

iS

+ u _

电流源短路, GS上无电流。 ③理想电压源与理想电流源不能相互转换。

【例2-5】利用电源转换简化电路计算
1. 5A 3? 4? I=? + 15V _ 8V + 2A 7? 7? I=0.5A

7?

2A 2. 5? + 10V _

+ 10V _

5? + U=? 6A _

6A

+ 2.5? U _

U=20V

【例2-6】求电路中的电流 I 2A 10? 10? + 40V _ 6? I 4? + 2A 30V _ 6?
30 ? 60 I? ? ?1.5 A 20

6? I
2A 10? + 40V _ I 4? + 30V _ 4? + 30V _

10? + 60V _

【例2-7】求电流 i1
R2 R3 R ? R1 ? R2 ? R3

R1 + US _ i1

R3

Ri1 ? ( R2 // R3 )ri1 / R3 ? U s
Us i1 ? R ? ( R2 // R3 )r / R3

R2

+ ri1
_

注意 受控源和独立
源一样可以进行电源转 换;转换过程中注意不 要丢失控制量。

i1 R i 1 + ri1/R3 + + R1 U USS (R2//R R2 )ri R13/R3 3// _ _ _

2-7 输入电阻

1.定义

无 源

i

+ u -

输入电阻

2.计算方法

u Rin ? i

①如果一端口内部仅含电阻,则应用电阻的串、并联 和?—Y变换等方法求它的等效电阻; ②对含有受控源和电阻的两端电路,用电压、电流法 求输入电阻,即在端口加电压源,求得电流,或在 端口加电流源,求得电压,得其比值。

【例2-8】计算下例一端口电路的输入电阻

1.

i1 R1

R2 + uS _

R3

R2 R1

R3

无源电 阻网络



先把有源网络的独立源置零:电压源短路; 电流源开路,再求输入电阻。

Rin ? ( R1 ? R2 ) // R3

2.
+

6?



6 i1

+

6?

- 3?

6 i1

+ i

+

3? US _ i1

i1

_
外加电 压源

U

3i1 i ? i1 ? ? 1.5i1 6 U ? 6i1 ? 3i1 ? 9i1
9i1 Rin ? ? 6? 1.5i1

U U i1 ? i? 9 6 U U Rin ? ? ? 6? i U 6

3. i2 0.1u1 等效 + u1 _ 5? i1 + u1 _

+ u

i

u1 ? 15i1

i2 ? 0.1u1 ? 1.5i1

i ? i1 ? i2 ? i1 ? 1.5i1 ? 2.5i1
u ? 5i ? u1 ? 5 ? 2.5i1 ? 15i1 ? 27.5i1

15?



5? 15?

u 27.5i1 Rin ? ? ? 11? i 2.5i1

10?

10 ?15 Rin ? 5 ? ? 11? 10 ? 15

本章作业
2-8、2-11、2-14、2-16




友情链接: