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高中数学第二章*面解析几何初步2.3.4圆与圆的位置关系学业分层测评新人教B版必修2

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2.3.4 圆与圆的位置关系 学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知两圆的圆心距是 6,两圆的半径分别是方程 x2-6x+8=0 的两个根,则这两个圆 的位置关系是( ) B.外切 A.外离 D.内切 C.相交 【解析】 由已知两圆半径的和为 6,与圆心距相等,故两圆外切. 【答案】 B 2.半径为 5 且与圆 x2+y2-6x+8y=0 相切于原点的圆的方程为( ) A.x2+y2-6x-8y=0 B.x2+y2+6x-8y=0 C.x2+y2+6x+8y=0 D.x2+y2-6x-8y=0 或 x2+y2-6x+8y=0 【导学号:45722115】 【解析】 已知圆的圆心为(3,-4),半径为 5,所求圆的半径也为 5,由两圆相切于 原点,知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称,即为(-3,4),可知选 B. 【答案】 B 3.点 P 在圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x2+y2+4x+2y+1=0 上, 则|PQ|的最小值是( ) A.5 B.1 C.3 5-5 D.3 5+5 【解析】 圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0,即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为 C1(4,2); 圆 C2:x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为 C2(-2,-1),两圆相离, |PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3 5-5. 【答案】 C 4.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( ) A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即 a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x2 的两个根,整理得 x2-10x+17=0. ∴a+b=10,ab=17, ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32. ∴|C1C2|= - = 32×2=8. 【答案】 C 5.过点 P(2,3)向圆 C:x2+y2=1 上作两条切线 PA,PB,则弦 AB 所在的直线方程为( ) A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0 【解析】 弦 AB 可以看作是以 PC 为直径的圆与圆 x2+y2=1 的交线,而以 PC 为直径的 圆的方程为(x-1)2+???y-32???=143.根据两圆的公共弦的求法,可得弦 AB 所在的直线方程为: (x-1)2+???y-32???-143-(x2+y2-1)=0,整理可得 2x+3y-1=0,故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6.两圆 C1:x2+y2+4x-4y-1=0,C2:x2+y2-4x-10y+13=0 的公切线有________ 条. 【解析】 圆 C1:(x+2)2+(y-2)2=9, 圆 C2:(x-2)2+(y-5)2=16, 圆心 C1(-2,2),圆心 C2(2,5),r1=3,r2=4. 【导学号:45722116】 则|C1C2|= -2- + - 故 r2-r1<|C1C2|<r2+r1, 两圆相交,则有两条公切线. =5<3+4, 【答案】 两 7.过两圆 x2+y2-x-y-2=0 与 x2+y2+4x-4y-8=0 的交点和点(3,1)的圆的方程是 ________. 【解析】 设所求圆的方程为 (x2+y2-x-y-2)+λ (x2+y2+4x-4y-8)=0(λ ≠- 1),将(3,1)代入得 λ =-25,故所求圆的方程为 x2+y2-133x+y+2=0. 【答案】x2+y2-133x+y+2=0 8.两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为________. 【解析】 由题意知,线段 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上, 且 kAB=1-4 m=-1,即 m=5, 又点???1+2 m,1???在该直线上, 所以1+2 m-1+c=0,所以 c=-2,所以 m+c=3. 【答案】 3 三、解答题 9.求圆心为(2,1)且与已知圆 x2+y2-3x=0 的公共弦所在直线经过点(5,-2)的圆的 方程. 【解】 设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2, 即 x2+y2-4x-2y+5-r2=0,① 已知圆的方程为 x2+y2-3x=0,② ②-①得公共弦所在直线的方程为 x+2y-5+r2=0,又此直线经过点(5,-2),∴5 -4-5+r2=0,∴r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 10.有相距 100 km 的 A,B 两个批发市场,商品的价格相同,但在某地区居民从两地运 回商品时,A 地的单位距离的运费是 B 地的 2 倍.问怎样确定 A,B 两批发市场的售货区域 对当地居民有利? 【解】 建立以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点的直角坐标系,则 A(-50,0), B(50,0). 设 P(x,y),由 2|PA|=|PB|,得 x2+y2+5300x+2 500=0, 所以在圆 x2+y2+5300x+2 500=0 内到 A 地购物合算;在圆 x2+y2+5300x+2 500=0 外到 B 地购物合算;在圆 x2+y2+5030x+2 500=0 上到 A,B 两地购物一样合算. [能力提升] 1.已知 0<r< 2+1,则两圆 x2+y2=r2 与(x-1)2+(y+1)2=2 的位置关系是( ) A.外切 B.相交 D.内含



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